💻 Método de la rigidez
Aprende a convertir una estructura de barras, vigas o marcos en un sistema de ecuaciones lineales y a resolverlo con Python.
El método de la rigidez es la base del análisis matricial de estructuras y el punto de partida del método de los elementos finitos. Su idea central es simple: cada elemento se describe con una pequeña matriz de rigidez, esas matrices se suman en una matriz global y, tras imponer los apoyos, el problema se reduce a resolver un sistema lineal, algo que ya sabes hacer con NumPy.
Contenido#
- I. Fundamentos Teóricos: La ecuación \(\mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{f}\), el equilibrio de nudos, la compatibilidad de desplazamientos y la matriz de rigidez de una barra axial en ejes locales y globales.
- II. Ensamblaje y Solución: Cómo se construye la matriz global por superposición, cómo se imponen los apoyos y cómo se resuelve el sistema reducido.
- III. Post-Procesamiento y Resultados: Cálculo de reacciones, fuerzas internas y esfuerzos a partir de los desplazamientos.
- IV. Generalización: Extensión del mismo algoritmo a vigas sometidas a flexión y a marcos con 3 GDL por nudo.
- V. Vigas: Cargas en el Tramo: Cargas nodales equivalentes y un ejemplo completo de viga continua, verificado contra la solución analítica.
A lo largo de las secciones construirás tu propio módulo de Python, rigidez.py, con las funciones del método. Si lo necesitas, puedes descargar el módulo completo.
Fundamentos Teóricos: El Sistema Central 🏛️
2556 palabras·13 mins
I. Fundamentos Teóricos: El Sistema Central 🏛️ # El Método de la Rigidez (o Método Directo de Rigidez) es la base del análisis matricial moderno de estructuras. Su objetivo principal es convertir cualquier estructura física —ya sea una barra simple, una viga, una armadura o un marco complejo— en un sistema de ecuaciones algebraicas lineales que se puede resolver computacionalmente.
Ensamblaje y Solución (Algoritmo Unificado) 🧩
3217 palabras·16 mins
II. Ensamblaje y Solución (Algoritmo Unificado) 🧩 # Una vez que tenemos la matriz de rigidez de cada elemento en ejes globales (\(\bar{\mathbf{k}}^{(e)}\)) para cada componente de la estructura (como la barra axial \(4 \times 4\) vista en la Sección I), el siguiente paso es combinarlas para formar la matriz del sistema completo (\(\mathbf{K}\)) y luego resolverlo.
Post-Procesamiento y Resultados 📊
2186 palabras·11 mins
III. Post-Procesamiento y Resultados 📊 # Una vez que hemos resuelto el sistema reducido \(\mathbf{K}_{LL} \mathbf{u}_L = \mathbf{f}_L\) y hemos encontrado los desplazamientos desconocidos (\(\mathbf{u}_L\)), el vector de desplazamientos global \(\mathbf{u}\) está completo (contiene \(\mathbf{u}_L\) y \(\mathbf{u}_R\)). La etapa de post-procesamiento utiliza este vector \(\mathbf{u}\) para calcular las fuerzas que son de interés estructural: las reacciones y las fuerzas internas de cada elemento.
Generalización
1710 palabras·9 mins
IV. Generalización 🚀 # Esta sección demuestra la versatilidad del Método de la Rigidez, mostrando cómo el mismo algoritmo de ensamblaje y solución se aplica a estructuras que poseen diferentes Grados de Libertad (GDL) y modos de deformación (axial vs. flexión).
Vigas: Cargas en el Tramo y Ejemplo Completo 🌉
2010 palabras·10 mins
V. Vigas: Cargas en el Tramo y Ejemplo Completo 🌉 # Hasta ahora, todas las cargas actuaban directamente sobre los nudos. En las vigas reales esto casi nunca ocurre: el peso propio, una losa o un equipo apoyado generan cargas distribuidas o cargas puntuales en medio del tramo. Como el método de la rigidez solo relaciona fuerzas y desplazamientos en los nudos, necesitamos una forma de llevar esas cargas a los nudos sin perder información.