Tabla de contenido

Métodos Numéricos - Este artículo es parte de una serie.

Parte 1: Resolución de Ecuaciones No Lineales Python

Parte 2: Resolución de Ecuaciones Lineales Python

Parte 3: Optimización Numérica en Ingeniería Mecánica con Python

Parte 4: Derivación Numérica en Ingeniería Mecánica con Python

Parte 5: Este artículo

Parte 6: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDOs) en Ingeniería Mecánica con Python

Parte 7: Interpolación y Regresión en Ingeniería Mecánica con Python

Parte 8: Newton-Raphson Generalizado en Ingeniería Mecánica con Python

Parte 9: Mecanismos en Ingeniería Mecánica con Python

♾️ Módulo 5: Integración Numérica
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🧱 Integración Numérica: La Suma de Pequeñas Partes
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La Integración Numérica busca aproximar el valor de una integral definida, $I = \int_{a}^{b} f(x) dx$, que representa el área bajo la curva $f(x)$ entre los límites $a$ y $b$. Esta técnica es indispensable en ingeniería cuando:

La integral analítica es imposible o extremadamente difícil (ej. $\int e^{-x^2} dx$).
Solo se dispone de datos experimentales discretos (ej. una tabla de valores, no una función).

Los métodos numéricos logran esta aproximación utilizando Fórmulas de Newton-Cotes, que reemplazan la función original con polinomios simples sobre pequeños segmentos y luego suman las áreas de esas formas geométricas.

Fundamento Teórico: Sumas de Riemann y Error
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El fundamento se basa en las Sumas de Riemann, donde el área se aproxima mediante rectángulos. Los métodos de Newton-Cotes son una mejora, reemplazando los rectángulos por formas más precisas (trapecios o parábolas).

El error principal es el Error de Truncamiento, que se reduce al aumentar el número de segmentos ($n$) o al usar polinomios de mayor grado.

🧮 Métodos Compuestos Fundamentales
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Los métodos más utilizados son las versiones Compuestas (o repetidas), que dividen el intervalo $[a, b]$ en $n$ segmentos iguales, cada uno con ancho $h = (b-a)/n$.

1. Regla del Trapecio (Trapezoidal Rule)
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Aproxima el área bajo la curva reemplazando $f(x)$ por una línea recta (polinomio de grado 1) sobre cada segmento, creando un trapecio.

$$\mathbf{I \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right]}$$

Orden de Error: $O(h^2)$.

2. Regla de Simpson 1/3
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Utiliza una parábola (polinomio de grado 2) sobre pares de segmentos, lo que aumenta drásticamente la precisión.

Requisito: El número de segmentos ($n$) debe ser par.

$$\mathbf{I \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4\sum_{i \text{ impar}} f(x_i) + 2\sum_{i \text{ par}} f(x_i) + f(x_n) \right]}$$

Orden de Error: $O(h^4)$. Su alta precisión la convierte en el método de elección cuando $n$ es par.

3. Regla de Simpson 3/8
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Utiliza un polinomio de grado 3 sobre tres segmentos adyacentes.

Requisito: El número de segmentos ($n$) debe ser un múltiplo de 3.

$$\mathbf{I \approx \frac{3h}{8} \left[ f(x_0) + 3\sum_{i=1, 4, 7...}^{n-2} f(x_i) + 3\sum_{i=2, 5, 8...}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{i=3, 6, 9...}^{n-3} f(x_i) + f(x_n) \right]}$$

🌍 Casos Aplicados en Ingeniería
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Cálculo de Trabajo (Mecánica): El trabajo ($W$) realizado por una fuerza variable $F(x)$ es $W = \int_{a}^{b} F(x) dx$.
Volumen y Propiedades Geométricas: Cálculo de volúmenes, centroides o momentos de inercia de secciones transversales irregulares.
Carga Eléctrica Acumulada (Electricidad): La carga eléctrica $Q$ a partir de la corriente $I(t)$ es $Q = \int I(t) dt$.

💻 Herramientas de Python: `scipy.integrate`
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La librería SciPy proporciona métodos sofisticados para la integración numérica:

Función	Uso Principal	Descripción
`quad`	Funciones analíticas	Regla adaptativa de Gauss-Kronrod; es el método más preciso y general. Devuelve (resultado, error).
`trapz`	Datos discretos	Implementa la Regla del Trapecio para un conjunto de puntos $(x_i, y_i)$.
`simps`	Datos discretos	Implementa la Regla de Simpson 1/3 (o usa la 3/8 si es necesario).
`dblquad`	Integrales Dobles	Para calcular volúmenes o integrales en 2D.

Ejemplo Práctico: Usando `quad` y `simps`
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Calcularemos $\int_{0}^{\pi} \sin(x) dx$ (Valor analítico = 2).

import numpy as np
from scipy.integrate import quad, simps

def f_seno(x):
    return np.sin(x)

# 1. Integración de función analítica con quad
resultado_quad, error_quad = quad(f_seno, 0, np.pi)

print("--- 🔬 Integración con SciPy (quad) ---")
print(f"Resultado (quad): {resultado_quad:.8f}")

# 2. Integración de datos discretos con simps (n=8 segmentos)
x_discreto = np.linspace(0, np.pi, 9) 
y_discreto = f_seno(x_discreto)
resultado_simps = simps(y_discreto, x_discreto)

print("\n--- 📊 Integración con SciPy (simps) ---")
print(f"Resultado (simps): {resultado_simps:.8f}")

📝 Ejercicios Propuestos
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A. Integración con Reglas de Newton-Cotes
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Cálculo de Área y Error del Trapecio: Integra la función $f(x) = x^3 + 2x^2 + 5$ en el intervalo $[1, 3]$.
- a) Manual: Utiliza la Regla del Trapecio Compuesta con $n=4$ segmentos.
- b) SciPy: Utiliza scipy.integrate.quad para obtener la respuesta de referencia y calcula el error absoluto de tu aproximación manual.
Uso Eficiente de Simpson 1/3: Integra $f(x) = e^{-x^2}$ (la integral Gaussiana) en el intervalo $[0, 2]$.
- Utiliza la Regla de Simpson 1/3 Compuesta con $n=6$ segmentos.
Comparación de Precisión ($n$ par vs. $n$ impar): Integra $f(x) = 1/x$ en $[1, 5]$.
- a) $n=4$ (Simpson 1/3): Calcula el resultado.
- b) $n=5$ (Combinado): Divide en $n=2$ segmentos para Trapecio (al inicio) y $n=3$ para Simpson 3/8 (al final), o usa simps de SciPy, que maneja automáticamente el último segmento. Compara con la solución exacta ($\ln(5) \approx 1.6094$).
Error de Truncamiento en el Trapecio: La integral $\int_{0}^{2} x^4 dx$ tiene un valor exacto de 6.4.
- Calcula el valor de la integral usando la Regla del Trapecio Compuesta con $n=2$ y $n=4$ segmentos.
- Análisis: ¿Cómo cambia el error al duplicar el número de segmentos? (El error del Trapecio es $O(h^2)$).
Regla de Simpson 3/8 Pura: Integra $f(x) = \sqrt{x} + 2$ en $[0, 3]$.
- Utiliza la Regla de Simpson 3/8 Compuesta con $n=3$ segmentos.

B. Análisis de Error y Convergencia
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Convergencia de Simpson 1/3: Integra $f(x) = e^x$ en $[0, 1]$. La solución exacta es $e-1 \approx 1.71828$.
- Calcula la integral usando la Regla de Simpson 1/3 Compuesta para $n=2, 4, 8$ segmentos.
- Análisis: Muestra cómo el error decrece rápidamente a medida que duplicas $n$, confirmando el orden de error $O(h^4)$.
Integral con Parámetros Adicionales: Calcula $\int_{0}^{5} e^{-ax^2} dx$ para el caso donde $a=0.5$.
- Utiliza scipy.integrate.quad pasando el parámetro $a$ a través del argumento args=(0.5,).
Integral Impropa (Límites Infinitos): Evalúa la integral $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx$.
- Utiliza scipy.integrate.quad y el valor especial de NumPy np.inf para el límite superior infinito. (Compara con el resultado analítico $\sqrt{\pi}/2$).

C. Aplicaciones de Ingeniería con Datos Discretos
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Trabajo Realizado por un Resorte: La fuerza $F$ de un resorte se mide a varias extensiones $x$. El trabajo $W = \int_{0}^{0.8} F(x) dx$.

Extensión ($x$) [m]	Fuerza ($F(x)$) [N]
0.0	0.0
0.2	2.1
0.4	4.5
0.6	7.2
0.8	9.8

Utiliza scipy.integrate.trapz para estimar el trabajo total.

Carga Acumulada con Datos Dispares: La corriente $I(t)$ en un circuito se mide discretamente. $Q = \int_{0}^{5} I(t) dt$.

Tiempo ($t$) [s]	Corriente ($I(t)$) [A]
0.0	0.2
1.0	1.8
2.0	3.5
3.0	4.6
4.0	5.1
5.0	4.8

Utiliza scipy.integrate.simps para estimar la carga total.

Volumen de un Estanque Cilíndrico con Radio Variable: El radio $R(z)$ de un estanque varía con la altura $z$. El volumen $V = \int_{0}^{8} \pi R(z)^2 dz$.

Altura ($z$) [m]	Radio ($R(z)$) [m]
0	5.0
2	4.5
4	3.8
6	3.0
8	2.5

Calcula la función del integrando $f(z) = \pi R(z)^2$.
Utiliza scipy.integrate.trapz para estimar el volumen total.

Energía Disipada por una Potencia Variable: La potencia $P(t)$ es función del tiempo. La energía total $E = \int P(t) dt$.

Tiempo ($t$) [s]	Potencia ($P(t)$) [W]
0	100
0.5	95
1.0	80
1.5	60
2.0	35
2.5	10

Utiliza scipy.integrate.simps para estimar la energía total disipada.

D. Aplicaciones Avanzadas
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Longitud de Arco y Derivación Numérica: La longitud de arco $L$ de $f(x) = \sin(x) + x/2$ en $[0, 2\pi]$ es $L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$.
- Define el integrando usando la derivada analítica $f'(x) = \cos(x) + 1/2$.
- Utiliza scipy.integrate.quad para obtener el resultado.
Integración Doble (Volumen Numérico): Calcula el volumen bajo la superficie $f(x, y) = x y^2$ sobre la región $[0, 1] \times [0, 2]$.
- Utiliza scipy.integrate.dblquad para integrar numéricamente $\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} x y^2 dx dy$.
Valor Promedio de una Función: El valor promedio $\bar{f}$ de una función $f(x)$ en $[a, b]$ es $\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$.
- Calcula el valor promedio de $f(x) = x \ln(x)$ en el intervalo $[1, 3]$.
- Utiliza scipy.integrate.quad para encontrar la integral y luego calcula el promedio.
Integral con Singularidad: Evalúa la integral $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$. (El valor exacto es 2).
- Pregunta de Análisis: Intenta usar la Regla del Trapecio Compuesta con $n=10$ y compara el resultado con el resultado de scipy.integrate.quad. Explica por qué quad (método adaptativo) maneja la singularidad en $x=0$ mucho mejor que el método de Trapecio simple.