Tabla de contenido

Metodo de la rigidez - Este artículo es parte de una serie.

Parte 1: Este artículo

Parte 2: Ensamblaje y Solución (Algoritmo Unificado) 🧩

Parte 3: Post-Procesamiento y Resultados 📊

I. Fundamentos Teóricos: El Sistema Central 🏛️
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El Método de la Rigidez (o Método Directo de Rigidez) es la base del análisis matricial moderno de estructuras. Su objetivo principal es convertir cualquier estructura física —ya sea una barra simple, una viga, una armadura o un marco complejo— en un sistema de ecuaciones algebraicas lineales que se puede resolver computacionalmente.

1. La Ecuación Maestra 📜
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Todo el método gira en torno a esta relación fundamental:

$$\mathbf{K} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{f}$$

Desglosemos sus componentes:

$\mathbf{u}$ (Vector de Desplazamientos): Contiene todos los desplazamientos y rotaciones nodales desconocidos de la estructura. Estas son las incógnitas primarias que necesitamos encontrar. Para un nodo de una armadura 2D, podría ser $(u_x, u_y)$; para un nodo de viga, podría incluir la rotación $(v, \theta)$.
$\mathbf{f}$ (Vector de Fuerzas): Contiene todas las fuerzas y momentos externos aplicados directamente en los nodos de la estructura. Estas son las cargas conocidas que actúan sobre el sistema.
$\mathbf{K}$ (Matriz de Rigidez Global): Esta matriz cuadrada representa la rigidez general de toda la estructura. Relaciona linealmente las fuerzas aplicadas con los desplazamientos resultantes. Piénsala como la “huella digital” de la estructura: encapsula su geometría, propiedades del material y conectividad.

Analogía: Esta ecuación matricial es una versión generalizada y multidimensional de la simple Ley de Hooke para un resorte ($F = kx$). Así como la rigidez $k$ de un resorte relaciona la fuerza $F$ con el desplazamiento $x$, la matriz $\mathbf{K}$ relaciona el vector de fuerzas $\mathbf{f}$ con el vector de desplazamientos $\mathbf{u}$.

2. Principios Fundamentales ⚖️📐
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El método de la rigidez se basa en dos pilares centrales de la mecánica estructural:

A. Equilibrio de Nodos
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El método asume que la estructura está en equilibrio estático. Esto significa que en cada nodo (unión) de la estructura, la suma de todas las fuerzas externas aplicadas ($f_i$) debe estar equilibrada por la suma de todas las fuerzas internas ejercidas por los elementos conectados a ese nodo($K_{ij} u_j$).

Implicación Matemática: Cada fila de la matriz de rigidez global $\mathbf{K}$ corresponde a un grado de libertad (GDL) específico en un nodo particular. La ecuación representada por esa fila $(\sum K_{ij} u_j = f_i)$ es esencialmente la ecuación de equilibrio para ese GDL.
Visualización Matricial (Superposición de Rigideces): Considere un sistema con solo dos elementos (E1 y E2) conectados en un GDL global (ej., $U_1$, el desplazamiento horizontal del Nodo 1). La rigidez global $K_{11}$ en ese GDL es la suma de las contribuciones de los elementos E1 y E2 a ese GDL:
$$ \mathbf{K} = \begin{pmatrix} \boxed{K_{11}^{E1} + K_{11}^{E2}} & K_{12} & \cdots \\ K_{21} & K_{22} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix} $$
La ecuación de equilibrio para el GDL 1 es la primera fila del sistema $\mathbf{K} \mathbf{u} = \mathbf{f}$:
$$(\mathbf{K}_{11}^{E1} + \mathbf{K}_{11}^{E2}) u_1 + K_{12} u_2 + \cdots = f_1$$
Ejemplo: Superposición de Rigideces: Imagina tres resortes con rigideces $k_1, k_2, k_3$ que se unen en un nodo central. Se aplica una fuerza externa $F$ al nodo, causando un desplazamiento $u$. [Imagen de tres resortes conectados en un nodo central] Las fuerzas internas en los resortes son $f_1 = k_1 u$, $f_2 = k_2 u$, $f_3 = k_3 u$.

Por equilibrio:
$$f_1 + f_2 + f_3 = F$$
Sustituyendo las relaciones fuerza-desplazamiento:
$$(k_1 + k_2 + k_3) u = F$$
La rigidez total $K$ del nodo es simplemente la suma de las rigideces de los elementos conectados: $K = k_1 + k_2 + k_3$.

Conclusión: La Matriz de Rigidez Global $\mathbf{K}$ se construye sumando (superponiendo) las contribuciones de rigidez de los elementos individuales que comparten los mismos grados de libertad.

B. Compatibilidad de Desplazamientos
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Dado que se asume que la estructura es continua, los elementos conectados en un nodo deben moverse juntos. No puede haber separaciones ni superposiciones en las uniones después de la deformación.

Implicación Matemática: Esta condición se impone asignando un grado de libertad único (por ejemplo, $u_x$, $u_y$, $\theta_z$) para cada dirección posible de movimiento en un nodo. Todos los elementos conectados a ese nodo comparten estas mismas variables de GDL.
Ejemplo: Si el resorte E1 y el resorte E2 2 se conectan en el nodo 1, el desplazamiento horizontal $u_{1}$ debe ser el mismo para el extremo de E1 y el extremo de E2. Comparten la variable de desplazamiento común $u_{1}$.

3. Desarrollo Matemático: La Matriz de Rigidez del Elemento ($k$) 🧱
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La construcción de la matriz global $\mathbf{K}$ comienza definiendo la matriz de rigidez para un elemento individual, denotada por $\mathbf{k}$.

A. La Matriz de Rigidez Local (Barra Axial)
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Consideremos el elemento estructural más simple: una barra uniforme de longitud $L$, área de sección transversal $A$, y Módulo de Young $E$, orientada a lo largo de su propio eje local $x'$. Solo resiste fuerzas axiales.

Ley Constitutiva (Esfuerzo-Deformación): $\sigma = E \varepsilon$ (Ley de Hooke para materiales).
Fuerza Interna (Esfuerzo-Área): La fuerza axial interna $P$ en la barra es $P = \sigma A = E A \varepsilon$.
Deformación-Desplazamiento: La deformación unitaria $\varepsilon$ es el cambio de longitud dividido por la longitud original. Si los desplazamientos en los extremos 1 y 2 son $u'_1$ y $u'_2$ a lo largo del eje local, el alargamiento total es $\delta = u'_2 - u'_1$. Por lo tanto, $\varepsilon = \delta / L = (u'_2 - u'_1) / L$.
Fuerza-Desplazamiento para el Elemento: Sustituyendo la deformación unitaria en la ecuación de la fuerza se obtiene la relación fundamental para la fuerza interna $P$ (positiva en tracción): $$P = E A \frac{(u'_2 - u'_1)}{L} = \frac{AE}{L} (u'_2 - u'_1)$$

Ahora, consideremos las fuerzas nodales $f'_1$ y $f'_2$ aplicadas a los nodos a lo largo del eje local, necesarias para mantener el equilibrio con la fuerza interna $P$. Si $P$ es de tracción, entonces $f'_1 = -P$ (actúa hacia la izquierda) y $f'_2 = P$ (actúa hacia la derecha).

Sustituyendo $P$:

$$\begin{cases} f'_1 = - \frac{AE}{L} (u'_2 - u'_1) = \frac{AE}{L} u'_1 - \frac{AE}{L} u'_2 \\ f'_2 = \frac{AE}{L} (u'_2 - u'_1) = -\frac{AE}{L} u'_1 + \frac{AE}{L} u'_2 \end{cases}$$

Esto define la Matriz de Rigidez Local ($2 \times 2$) para la barra axial:

$$\mathbf{k}_{\text{local}} = \frac{AE}{L} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$

Que relaciona las fuerzas nodales locales con los desplazamientos nodales locales:

$$\begin{pmatrix} f'_1 \\ f'_2 \end{pmatrix} = \mathbf{k}_{\text{local}} \begin{pmatrix} u'_1 \\ u'_2 \end{pmatrix}$$

B. Interpretación de los Términos
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$AE/L$: Es la rigidez axial de la barra. Es la constante de proporcionalidad que relaciona la fuerza axial con el alargamiento axial. Un $AE/L$ mayor significa que la barra es más rígida.
Elemento Diagonal $k_{11} = AE/L$: Representa la fuerza $f'_1$ requerida en el nodo 1 para causar un desplazamiento unitario $u'_1 = 1$ manteniendo el nodo 2 fijo ($u'_2 = 0$).
Elemento Fuera de Diagonal $k_{12} = -AE/L$: Representa la fuerza $f'_1$ requerida en el nodo 1 para causar un desplazamiento unitario $u'_2 = 1$ manteniendo el nodo 1 fijo ($u'_1 = 0$). El signo negativo indica que es una fuerza de reacción que se opone al alargamiento causado por mover el nodo 2.

4. Desarrollo Matemático: Transformación de Coordenadas 🔄
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Los elementos estructurales rara vez están perfectamente alineados con el sistema de coordenadas global ($X, Y$). Para ensamblar la matriz de rigidez global $\mathbf{K}$, debemos transformar la matriz de rigidez de cada elemento desde su sistema de coordenadas local ($x', y'$) al sistema común global ($X, Y$).

A. La Matriz de Transformación ($\mathbf{T}$)
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La Matriz de Transformación $\mathbf{T}$ utiliza cosenos directores para relacionar los desplazamientos locales del elemento ($u'_1, u'_2$) con sus desplazamientos nodales globales. Para un elemento de barra 2D orientado a un ángulo $\theta$ con el eje X global, cada nodo tiene 2 GDL globales ($U_x, U_y$). El elemento tiene 4 GDL globales en total: $(U_{1x}, U_{1y}, U_{2x}, U_{2y})$.

Los desplazamientos axiales locales $u'_1$ y $u'_2$ son proyecciones de los desplazamientos globales sobre el eje local $x'$ del elemento. Sean $c = \cos\theta$ y $s = \sin\theta$.

$$u'_1 = U_{1x} c + U_{1y} s$$

$$u'_2 = U_{2x} c + U_{2y} s$$

En forma matricial, relacionando los 2 GDL locales con los 4 GDL globales:

$$\begin{pmatrix} u'_1 \\ u'_2 \end{pmatrix}_{\text{local}} = \begin{pmatrix} c & s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} U_{1x} \\ U_{1y} \\ U_{2x} \\ U_{2y} \end{pmatrix}_{\text{global}}$$

Así, la matriz de transformación $\mathbf{T}$ es:

$$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} c & s & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & s \end{pmatrix}$$

B. La Matriz de Rigidez Global del Elemento ($\mathbf{K}_{\text{global}}$)
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Utilizando principios de equivalencia de trabajo o reglas de transformación de coordenadas, la matriz de rigidez del elemento en coordenadas globales ($\mathbf{K}_{\text{global}}$, ahora de $4 \times 4$) se obtiene mediante la transformación congruente:

$$\mathbf{K}_{\text{global}} = \mathbf{T}^T \mathbf{k}_{\text{local}} \mathbf{T}$$

Sustituyendo $\mathbf{T}$ y $\mathbf{k}_{\text{local}}$ y realizando la multiplicación de matrices se obtiene la Matriz de Rigidez Global para un Elemento de Barra Axial 2D:

$$\mathbf{K}_{\text{global}} = \frac{AE}{L} \begin{pmatrix} c^2 & cs & -c^2 & -cs \\ cs & s^2 & -cs & -s^2 \\ -c^2 & -cs & c^2 & cs \\ -cs & -s^2 & cs & s^2 \end{pmatrix}$$

Esta matriz $4 \times 4$ es el bloque de construcción fundamental que se “ensamblará” en la matriz de rigidez global $\mathbf{K}$ de toda la estructura. Relaciona correctamente las fuerzas y desplazamientos aplicados en las direcciones globales $X, Y$.

5. Ejercicio Demostrativo: $\mathbf{K}_{\text{global}}$ de una Barra Inclinada 💻
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Calculemos $\mathbf{K}_{\text{global}}$ para una barra con las siguientes propiedades:

$A = 0.01 \, \text{m}^2$
$E = 200 \times 10^9 \, \text{Pa}$ (Acero)
$L = 5 \, \text{m}$
Ángulo $\theta = 30^\circ$

import numpy as np

# Propiedades de la barra
A = 0.01  # m^2
E = 200e9 # Pa
L = 5.0   # m
angulo_grados = 30.0

# Rigidez axial
AE_L = (A * E) / L

# Cosenos directores
angulo_rad = np.radians(angulo_grados)
c = np.cos(angulo_rad)
s = np.sin(angulo_rad)

# Matriz de Rigidez Local (k_local)
k_local = AE_L * np.array([
    [ 1, -1],
    [-1,  1]
])

# Matriz de Transformación (T)
T = np.array([
    [c, s, 0, 0],
    [0, 0, c, s]
])

# Cálculo de K_global = T_transpuesta * k_local * T
K_global = T.T @ k_local @ T

print(f"Rigidez Axial (AE/L): {AE_L:.2e} N/m")
print("\nMatriz de Transformación T:")
print(T)
print("\nMatriz de Rigidez Global del Elemento (K_global):")
# Imprimir con formato para mejor lectura
np.set_printoptions(precision=3, suppress=True, linewidth=100)
print(K_global)

# Verificación rápida: K_global debe ser simétrica
print("\n¿Es K_global simétrica?", np.allclose(K_global, K_global.T))

Este código calcula $\mathbf{k}_{\text{local}}$, $\mathbf{T}$, y finalmente $\mathbf{K}_{\text{global}}$ usando operaciones matriciales de NumPy, demostrando el proceso matemático.

6. Ejercicios Propuestos 📝
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Concepto: Explica con tus propias palabras la diferencia entre la matriz de rigidez local y global de un elemento. ¿Por qué es necesaria la transformación?
Cálculo: Calcula $AE/L$ para una barra de aluminio ($E = 70 \, \text{GPa}$) de $2 \, \text{m}$ de longitud y $5 \, \text{cm}^2$ de área.
Cálculo: Escribe la matriz $\mathbf{k}_{\text{local}}$ para la barra del ejercicio 2.
Cálculo: Si la barra del ejercicio 2 está a $45^\circ$, calcula los valores de $c$ y $s$.
Cálculo: Escribe la matriz de transformación $\mathbf{T}$ para la barra del ejercicio 4.
Programación: Modifica el script de Python del ejercicio demostrativo para calcular $\mathbf{K}_{\text{global}}$ para la barra del ejercicio 4.
Concepto: ¿Qué significa físicamente el término $K_{11}$ (el primer elemento diagonal) en la matriz $\mathbf{K}_{\text{global}}$?
Concepto: ¿Qué significa físicamente el término $K_{13}$ en la matriz $\mathbf{K}_{\text{global}}$?
Cálculo: Para una barra vertical ($\theta = 90^\circ$), ¿cómo se simplifica la matriz $\mathbf{K}_{\text{global}}$? Calcúlala usando $c=0, s=1$.
Cálculo: Para una barra horizontal ($\theta = 0^\circ$), ¿cómo se simplifica la matriz $\mathbf{K}_{\text{global}}$? Calcúlala usando $c=1, s=0$.
Programación: Escribe una función Python calcular_K_global(A, E, L, theta_grados) que devuelva la matriz $\mathbf{K}_{\text{global}}$ de $4 \times 4$.
Concepto: ¿Por qué la matriz $\mathbf{K}_{\text{global}}$ siempre es simétrica? (Pista: Relacionado con el teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti o la energía de deformación).
Unidades: ¿Cuáles son las unidades de los elementos de la matriz $\mathbf{K}_{\text{global}}$ si A está en $\text{m}^2$, E en $\text{Pa}$ y L en $\text{m}$?
Concepto: Si duplicas la longitud $L$ de una barra, ¿cómo cambia su rigidez axial $AE/L$? ¿Y cómo afecta esto a los elementos de $\mathbf{K}_{\text{global}}$?
Concepto: Si duplicas el área $A$ de una barra, ¿cómo cambia su rigidez axial?
Programación: Usando la función del ejercicio 11, calcula $\mathbf{K}_{\text{global}}$ para una barra a $120^\circ$.
Cálculo: A mano, multiplica $\mathbf{T}^T \mathbf{k}_{\text{local}}$ para la barra axial y verifica los primeros 4 elementos de $\mathbf{K}_{\text{global}}$.
Concepto: En el ejemplo de los tres resortes, ¿cómo se relaciona la “superposición de rigideces” con el proceso de ensamblaje de la matriz global $\mathbf{K}$ de una estructura completa?
Concepto: Describe brevemente cómo el principio de Compatibilidad de Desplazamientos justifica el uso de los mismos índices de GDL globales al ensamblar matrices de elementos que comparten un nodo.
Aplicación: Si tienes una barra muy corta pero con un área muy grande (ej. un soporte casi rígido), ¿qué esperarías que suceda con los valores en su matriz $\mathbf{K}_{\text{global}}$? ¿Podría esto causar problemas numéricos?